安德雷·柯尔莫哥洛夫（俄国数学家）

安德雷·柯尔莫哥洛夫（俄语：Андре́й Никола́евич Колмого́ров‎，1903年4月25日-1987年10月20日），俄国数学家，主要在概率论、算法信息论和拓扑学方面做出了重大贡献，最为人所称道的是对概率论公理化所作出的贡献。他曾说：“概率论作为数学学科，可以而且应该从公理开始建设，和几何、代数的路一样。“

生平简介

柯尔莫哥洛夫是前苏联数学家。 1903年4月25日生于俄罗斯顿巴夫市；1987年10月20日逝世。

柯尔莫哥洛夫的父亲是位农艺师，母亲在生他时不幸去世，他由其姨母抚养成人。柯尔莫哥洛夫1920年进入莫斯科大学学习，入大学前在铁路上当过列车员。在莫斯科大学学习期间，师从于著名数学家卢津。柯尔莫哥洛夫聪敏好学，1922年2月他发表了集合运算方面的论文，推广了苏斯林的结果；同年6月，发表了一个几乎处处发散的傅里叶级数（到1926年，他进而构造出了处处发散的傅里叶级数）。据他自己说，这个级数是他当列车售票员时在火车上想出的。这两个例子对于数学家们来说都是完全出乎意料的，并引起了极大反响，从而也使他名声鹊起。其后，他连续发表了许多研究成果。

柯尔莫哥洛夫1925年毕业于莫斯科大学，1929年研究生毕业，成为莫斯科大学数学研究所研究员。1930年6月到1931年3月访问哥廷根、慕尼黑及巴黎。1931年任莫斯科大学教授，1933年任该校数学力学研究所所长。1935年获物理数学博士学位，继于1939年当选为苏联科学院院士，1966年当选为苏联教育科学院院士。他还被选为荷兰皇家学会、英国皇家学会、美国国家科学院、法国科学院、罗马尼亚科学院以及其它多个国家科学院的会员或院士，并获得不少国外著名大学的荣誉博士称号。

主要贡献

柯尔莫哥洛夫是20世纪最有影响的数学家之一，对开创现代数学的好几个分支都作出了重大贡献。

柯尔莫哥洛夫是现代概率论的开拓者之一，柯尔莫哥洛夫与辛欣共同把实变函数的方法应用于概率论。1933年，柯尔莫哥洛夫的专著《概率论的基础》出版，书中第一次在测度论基础上建立了概率论的严密公理体系，这一光辉成就使他名垂史册。因为这一专著不仅提出了概率论的公理定义，在公理的框架内系统地给出了概率论理论体系。而且给出并证明：相容的有限维概率分布族决定无穷维概率分布的“相容性定理”，解决了随机过程的概率分布的存在问题；提出了现代的一般的条件概率和条件期望的概念并导出了他们的基本性质，使马尔可夫过程以及很多关于随机过程的概念得以严格地定义并论证。这就奠定了近代概率论的基础，从而使概率论建立在完全严格的数学基础之上。20世纪20年代，在概率论方面他还作了关于强大数律、重对数律的基本工作。他和辛钦成功地找到了具有相互独立的随机变量的项的级数收敛的必要充分条件。他成功地证明了大数法则的必要充分要件，证明了在项上加上极宽的条件时独立随机变量的重对数法则，得到了在独立同分布项情形下强大数法则的必要充分条件。

柯尔莫哥洛夫是随机过程论的奠基人之一。20世纪30年代，他建立了马尔可夫过程的两个基本方程， 他的卓越论文《概率论的解析方法》为现代马尔可夫随机过程论和揭示概率论与常微分方程及二阶偏微分方程的深刻联系奠定了基础。他还创立了具有可数状态的马尔可夫链理论。他找到了连续的分布函数与它的经验分布函数之差的上确界的极限分布，这个结果是非参数统计中分布函数拟合检验的理论依据，成为统计学的核心之一。

1949年，格涅坚科和柯尔莫哥洛夫发表了专著《相互独立随机变数之和的极限分布》，这是一部论述20世纪30年代以来，柯尔莫哥洛夫和辛钦等以无穷可分律和稳定律为中心的的独立随机变量和的弱极限理论的总结性著作。

在20世纪30—40年代之交，柯尔莫哥洛夫建立了希尔伯特空间几何与平稳随机过程和平稳随机增量过程的一系列问题之间的联系。给出了这两种过程的谱表示，完整地研究了它们的结构以及平稳随机过程的的内插与外推问题等。 他的平稳过程的结果（N.维纳也得到平行的结果）创造了一个全新的随机过程论的分支，在科学和技术上有广泛的应用；而他的关于平稳增量随机过程的理论对于各向同性湍流的研究有深刻的影响。20世纪60年代，他还将概率论用于研究语言学并取得了颇赋启迪性的成果，即做诗的概率方法和用概率实验法确定俄语语音的熵，他还开创了预报理论。

20世纪50年代中期，柯尔莫哥洛夫开创了研究函数特性的信息论方法。他引进了度量空间ε熵集的概论，从而得到了函数族与空间《度量地积》的评估方法。1956年他意外地发现：每一个不论是多少变元的连续函数都可以表示成三元连续函数的叠加。1957年，他的学生阿诺尔德证明了每个三元函数均可表示为二元函数的叠加，从而对于连续函数的情形，解决了希尔伯特第13个问题。 这进一步证明了不管是多少变元的连续函数都可以表示成一元（或多元）连续函数的叠加。20世纪60年代以后，他又创造了信息算法理论。

柯尔莫哥洛夫独立地在拓扑学中引入了上边缘或▽算子的概念。利用这个算子，他先是对复形，而后是对任何一紧空间创立了上同调群理论，对于许多拓扑问题的研究，其中包括与连续映射有关的研究，上同调群概念提供了很方便和很有效的方法。他还是同时具有拓扑结构和代数结构的空间理论（线性拓扑空间、拓扑环）研究的开创者之一，在拓扑空间中，有以他的姓氏命名的柯尔莫哥洛夫公理，即：对于相异二点x，y，至少存在一方，譬如x的领域，它不含有另一方，即y。

柯尔莫哥洛夫对动力系统理论贡献亦丰。他开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K（柯尔莫哥洛夫）系统的遍历理论。 他把经典力学与信息论结合起来，在20世纪50年代，解决了非对称重刚体高速旋转的稳定性和磁力线曲面的稳定性。在他的工作基础上，阿诺尔德和莫泽完成了以他们三人姓氏命名的KAM理论。他在动力系统与遍历理论中引进了K熵，对于具有强随机性动力系统的内部不稳定性问题的分析起了重要作用。

关于湍流内部结构的研究，柯尔莫哥洛夫等人提出的统计理论占主导地位，他还引入了局部各向同性湍性的概念，从物理的观点对能量传播进行了考察，并利用考察的结果和量纲分析推导出能谱函数，即在雷诺数很大的平衡领域中的能谱E（K）∝K-5/3（其中，K是在波数空间内球的半径）。他的能谱函数目前已得到相当多的实验根据。

柯尔莫哥洛夫在数学的许多分支都提出了不少独创的思想，导入了崭新的方法，构成了新的理论，对推动现代数学发展作出了卓越的贡献。他的学术特点是把抽象的数学理论与自然科学实验融为一体。他既是理论家又是实践家， 他既是一个抽象的概率论公理学者，又是从事一般产品质量统计检验的研究人员。他既研究理论流体力学，又亲自参加海洋考察队。 柯尔莫哥洛夫也认为：“数学是现实世界中的数量关系与空间形式的科学”，“……因此数学的研究对象是来自现实之中的。然而作为数学加以研究时，必须离开现实素材（数学的抽象性）。但是，数学的抽象性并不意味着完全脱离现实素材”。他还认为：“数学的应用是多种多样的，从原理上讲数学方法的应用范围是无边际的，即物质的所有类型的运动都可以用数学加以研究。但是数学方法的作用与意义在不同情况下是不同的，用单一的模式来包罗现象的所有侧面是不可能的。”

柯尔莫哥洛夫不但是杰出的数学家，而且是优秀的教育家，他指导过60多名博士和副博士。他认为在大学的数学教育中，好的教师应该是：

（1）讲课高明，比如能用其它科学领域的例子来吸引学生；

（2）以清晰的解释和宽广的数学知识来吸引学生；

（3）善于作个别指导，清楚每个学生的能力，在其能力范围内安排学习内容，使学生增强信心。

他还说：“只有那些自己对数学充满热情并且将之看成为一门活的发展科学的人，才能真正教好数学。”柯尔莫哥洛夫非常关心和重视基础教育，并亲自领导了中学数学教科书的编写工作。他培养了许多优秀的数学家，如盖尔范德、马尔采夫、格涅坚科、阿诺尔德等。柯尔莫哥洛夫胸襟开阔，他总是具有把青年人吸引到他研究工作中去的魅力，并形成以他为首的学派。

柯尔莫哥洛夫的论著总计有230多种，涉及的领域包括实变函数论、测度论、集论、积分论、三角级数、数学基础论、拓扑空间论、泛函分析、概率论、动力系统、统计力学、数理统计、信息论等多个分支。他的论著被译成中文的有：《概率论的基础》（商务印书馆，1952年）、《函数论与泛函分析初步》（高等教育出版社，1957年）、《相互独立随机变数纸盒的极限分布》等。另外，他主编的《几何》《数学·算术》也被译成了中文，分别由人民教育出版社于1978年和高等教育出版社于1957年出版。

由于柯尔莫哥洛夫的卓越成就，他七次荣膺列宁勋章，并被授予苏联社会主义劳动英雄的称号，他还是列宁奖金和国家奖金的获得者。 1980年荣获了沃尔夫奖，1986年荣获了罗巴切夫斯基奖。